Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax²+（a-1）x+a-1．
（1）當(dāng)x∈R，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）在x∈[-1，3]上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對a討論，當(dāng)a=0時，當(dāng)a＜0，且判別式小于0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）對a討論，a=0，a＞0，a＜0，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時，f（x）=-x-1＜0不恒成立，舍去a=0；
當(dāng)a＜0，且判別式△＜0，f（x）＜0恒成立，
由△=（a-1）²-4a（a-1）＜0，即為（a-1）（-3a-1）＜0，
解得a＞1或a＜-$\frac{1}{3}$，即為a＜-$\frac{1}{3}$．
綜上可得a的范圍是（-∞，-$\frac{1}{3}$）；
（2）當(dāng)a=0時，f（x）=-x-1在[-1，3]上遞減，成立；
當(dāng)a＞0時，f（x）的對稱軸為x=$\frac{1-a}{2a}$，
f（x）在x∈[-1，3]上單調(diào)，
可得$\frac{1-a}{2a}$≥3或$\frac{1-a}{2a}$≤-1，
解得0＜a≤$\frac{1}{7}$；
當(dāng)a＜0時，f（x）的對稱軸為x=$\frac{1-a}{2a}$，
f（x）在x∈[-1，3]上單調(diào)，
可得$\frac{1-a}{2a}$≥3或$\frac{1-a}{2a}$≤-1，
解得-1≤a＜0．
綜上可得，a的范圍是-1≤a≤$\frac{1}{7}$．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題的解法，以及函數(shù)的單調(diào)性的問題，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．