Question

19．已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-6），當x∈[0，6]時，f（x）=$\sqrt{3-|x-3|}$，若關(guān)于x的方程f（x）=m（x+6）在區(qū)間[-6，+∞）內(nèi)恰有三個不等實根，則實數(shù)m的值為（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{9}$
• D． 以上均不正確

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-6），得到f（x）=2f（x+6），作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)f（x）與g（x）=m（x+6），在區(qū)間[-6，+∞）內(nèi)恰有三個不等實根，建立方程關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-6），
∴f（x+6）=$\frac{1}{2}$f（x），
即f（x）=2f（x+6），
當x∈[-6，0]時，x+6∈[0，6]，
∵當x∈[0，6]時，f（x）=$\sqrt{3-|x-3|}$，
∴當x∈[-6，0]時，f（x）=2f（x+6）=2$\sqrt{3-|x+6-3|}$=2$\sqrt{3-|x+3|}$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)g（x）=m（x+6），則g（x）過定點（-6，0），
當x∈[0，3]時，f（x）=$\sqrt{3-|x-3|}$=$\sqrt{x}$，
若g（x）與f（x）=$\sqrt{x}$，相切，設(shè)切點（a，b），
則f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，則f′（a）=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
則切線方程為y-b=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
即y=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$x+$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
，當x=-6，y=0時，$\frac{1}{2\sqrt{a}}$×（-6）+$\frac{\sqrt{a}}{2}$=0，
得$\frac{\sqrt{a}}{2}$=$\frac{3}{\sqrt{a}}$，得a=6，即當x∈[0，3]時g（x）與f（x）=$\sqrt{x}$，不可能相切，
則此時當g（x）經(jīng)過B（3，$\sqrt{3}$）時，g（x）與f（x）有三個交點，
此時g（3）=m（3+6）=9m=$\sqrt{3}$，得m=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故選：C

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的表達式，利用數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．