Question

19．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-6），當(dāng)x∈[0，6]時(shí)，f（x）=$\sqrt{3-|x-3|}$，若關(guān)于x的方程f（x）=m（x+6）在區(qū)間[-6，+∞）內(nèi)恰有三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的值為（　�。�

• A． -$\frac{\sqrt{6}}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{9}$
• D． 以上均不正確

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-6），得到f（x）=2f（x+6），作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)f（x）與g（x）=m（x+6），在區(qū)間[-6，+∞）內(nèi)恰有三個(gè)不等實(shí)根，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-6），
∴f（x+6）=$\frac{1}{2}$f（x），
即f（x）=2f（x+6），
當(dāng)x∈[-6，0]時(shí)，x+6∈[0，6]，
∵當(dāng)x∈[0，6]時(shí)，f（x）=$\sqrt{3-|x-3|}$，
∴當(dāng)x∈[-6，0]時(shí)，f（x）=2f（x+6）=2$\sqrt{3-|x+6-3|}$=2$\sqrt{3-|x+3|}$，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)g（x）=m（x+6），則g（x）過(guò)定點(diǎn)（-6，0），
當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）=$\sqrt{3-|x-3|}$=$\sqrt{x}$，
若g（x）與f（x）=$\sqrt{x}$，相切，設(shè)切點(diǎn)（a，b），
則f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，則f′（a）=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
則切線(xiàn)方程為y-b=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
即y=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$x+$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
，當(dāng)x=-6，y=0時(shí)，$\frac{1}{2\sqrt{a}}$×（-6）+$\frac{\sqrt{a}}{2}$=0，
得$\frac{\sqrt{a}}{2}$=$\frac{3}{\sqrt{a}}$，得a=6，即當(dāng)x∈[0，3]時(shí)g（x）與f（x）=$\sqrt{x}$，不可能相切，
則此時(shí)當(dāng)g（x）經(jīng)過(guò)B（3，$\sqrt{3}$）時(shí)，g（x）與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)g（3）=m（3+6）=9m=$\sqrt{3}$，得m=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．