Question

7．“函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是單調(diào)遞增函數(shù)”是“函數(shù)g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)”的既不充分也不必要條件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{2（a-1）+2≥{a}^{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$．函數(shù)g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，$\frac{a}{2}≤1$，1-a+1＞0，解出即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{2（a-1）+2≥{a}^{2}}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
函數(shù)g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，$\frac{a}{2}≤1$，1-a+1＞0，解得a＜2．
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（a-1）x+2，x＞2\\{a^x}，x≤2\end{array}$在R上是單調(diào)遞增函數(shù)”是“函數(shù)g（x）=log₂（x²-ax+1）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)”的既不充分也不必要條件．
故答案為：既不充分也不必要．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式的解法及其性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．