Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和直線l：x=2的距離之比為

2

2

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，直線l：y=mx+n與曲線E交于C，D兩點(diǎn)，與線段AB相交于一點(diǎn)（與A，B不重合）
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l與圓x²+y²=1相切時(shí)，四邊形ABCD的面積是否有最大值，若有，求出其最大值，及對應(yīng)的直線l的方程；若沒有，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意可得，

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，化簡即可得出；
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知可得：|AB|=

2

，當(dāng)m=0時(shí)，不合題意．當(dāng)m≠0時(shí)，由直線l與圓x²+y²=1相切，可得m²+1=n²，直線與橢圓方程聯(lián)立可得(m2+

1

2

)x2+2mnx+n2-1=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系可得S四邊形ACBD=

1

2

|AB||x2-x1|，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由題意可得，

(x-1)2+y2

|x-2|

=

2

2

，
整理可得：

x2

2

+y2=1．
∴曲線E的方程是

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由已知可得：|AB|=

2

，當(dāng)m=0時(shí)，不合題意．
當(dāng)m≠0時(shí)，由直線l與圓x²+y²=1相切，可得：

|n|

m2+1

=1，即m²+1=n²，
聯(lián)立

y=mx+n x2 2 +y2=1

消去y得(m2+

1

2

)x2+2mnx+n2-1=0．
△=4m2n2-4(m2+

1

2

)(n2-1)=2m2＞0，

x

1

=

-2mn+ △

2m2+1

，x2=

-2mn- △

2m2+1

，
所以，

x

1

+x2=

-4mn

2m2+1

，x1x2=

2n2-2

2m2+1

，
S四邊形ACBD=

1

2

|AB||x2-x1|=

2 2m2-n2+1

2m2+1

=

2|m|

2m2+1

=

2

2|m|+ 1 |m|

≤

2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)2|m|=

1

|m|

，即m=±

2

2

時(shí)等號成立，此時(shí)n=±

6

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)可知，直線y=

2

2

x-

6

2

和直線y=-

2

2

x+

6

2

符合題意．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、四邊形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．