Question

19．是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）=x²-（m-1）x+2m在區(qū)間[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 分類討論：（1）當(dāng)方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，矛盾；（2）當(dāng)方程x²-（m-1）x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，分3種情況來考慮即可．

解答 解：假設(shè)這樣的實(shí)數(shù)m，
使函數(shù)f（x）=x²-（m-1）x+2m在區(qū)間[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
（1）當(dāng)方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)，
△=（m-1）²-8m=0且0＜$\frac{m-1}{2}$＜1，此時(shí)m無解；
（2）當(dāng)方程x²-（m-1）x+2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，
①有且只有一根（0，1）上時(shí)，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得-2＜m＜0；
②當(dāng)f（0）=0時(shí)，m=0，f（x）=x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1，符合題意；
③f（1）=0時(shí)，m=-2，方程可化為x²+3x-4=0，解得x₁=1，x₂=-4，符合題意．
綜上可得，存在實(shí)數(shù)m，且取值范圍為：[-2，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題為函數(shù)零點(diǎn)的存在性問題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．