Question

9．設(shè)α、β、γ表示平面，m、n表示直線，α∩β=m
（1）若n∥α，n∥β，求證：m∥n；
（2）若α⊥γ，β⊥γ，求證：m⊥γ

Answer 1

分析 （1）過n作平面θ，使θ∩β=b，θ∩α=a，由平行公理推導出a∥b，a∥m，由此能證明n∥m．
（2）設(shè)α∩γ=p，β∩γ=q，在m任意取一點P，過P在平面α內(nèi)作PA⊥p，過P在平面β內(nèi)作PB⊥q，PA，PB重合即為m，由此能證明m⊥γ．

解答 證明：（1）過n作平面θ，使θ∩β=b，θ∩α=a，
∴n∥β，∴n∥b，∵n∥α，∴n∥a，
∴a∥b．
∵b?平面α，∴b∥α，
∵a?平面α，α∩β=m，
∴a∥m，∴n∥m．
（2）設(shè)α∩γ=p，β∩γ=q，
∵平面α∩平面β=m，
∴在m任意取一點P，過P在平面α內(nèi)作PA⊥p．
∵α⊥平面γ，α∩γ=p，
∴PA⊥γ，過P在平面β內(nèi)作PB⊥q，
∵β⊥平面γ，β∩γ=q，
∴PB⊥γ，
∴PA，PB重合即為m，
∴m⊥γ．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．