Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A、B、C成等差數(shù)列．
（Ⅰ） 若c=2a，求角A、B、C的大小；
（Ⅱ） 當(dāng)△ABC為銳角三角形時，求sinA+sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合內(nèi)角和定理，可得B，再由正弦定理和兩角差的正弦公式，計算化簡可得A，C；
（Ⅱ）由（I）可得B=$\frac{π}{3}$，由△ABC為銳角三角形，可得$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，從而可得A的范圍，則sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A），利用差角公式及輔助角公式化簡可得$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），從而可得所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）A、B、C成等差數(shù)列．可得2B=A+C，
由A+B+C=π，可得B=$\frac{π}{3}$，C=$\frac{2π}{3}$-A．
由c=2a，可得sinC=2sinA，
即為sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2sinA，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA=2sinA，
即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosA，
tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{π}{2}$；
（Ⅱ）由A+B+C=π及B=$\frac{π}{3}$，得C=$\frac{2π}{3}$-A．
又△ABC為銳角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$．
則sinA+sinC=sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）=$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
又A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
∴sinA+sinC∈（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]．
即有sinA+sinB+sinC的范圍為（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，及特殊角的三角函數(shù)值，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，屬于中檔題．