Question

4．直線L_n：y=x-$\sqrt{2n}$與圓C_n：x²+y²=2a_n+n交于不同的兩點A_n，B_n．數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a _n+1=$\frac{1}{4}$|A_nB_n|²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，
（2）若b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n為奇數(shù)）}\\{{a}_{n}（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用點到直線的距離公式和弦長公式，求得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，再由等比數(shù)列的通項公式即可得到所求；
（2）求出b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，討論n為奇數(shù)、偶數(shù)，運用分組求和方法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，化簡整理即可得到所求．

解答 解：（1）圓心（0，0）到直線L_n的距離為d_n=$\frac{|\sqrt{2n}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{n}$，
半徑${r_n}=\sqrt{2{a_n}+n}$，
∴${a_{n+1}}=\frac{1}{4}{|{{A_n}{B_n}}|^2}={r_n}^2-d_n^2=2{a_n}+n-n=2{a_n}$，
即$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$，
∴{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴${a_n}={2^{n-1}}$；
（2）b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1（n為奇數(shù)）}\\{{a}_{n}（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
n為偶數(shù)時，前n項和T_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
=[1+5+7+…+（2n-3）]+（2+2³+2⁵+…+2^n-1）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{2}$（2n-2）+$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$+$\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}$；
n為奇數(shù)時，${T_n}={T_{n-1}}+{b_n}=\frac{{{{（n-1）}^2}-（n-1）}}{2}+\frac{{2（{2^{n-1}}-1）}}{3}+（2n-1）=\frac{{{n^2}+n}}{2}+\frac{{{2^n}-2}}{3}$，
綜上可得，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-n}{2}+\frac{2（{2}^{n}-1）}{3}，n為偶數(shù)}\\{\frac{{n}^{2}+n}{2}+\frac{{2}^{n}-2}{3}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法及數(shù)列的求和的方法，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式的運用，同時考查直線和圓相交的弦長公式，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．