Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的首項(xiàng)a_l=1，且對(duì)任意n∈N^*，a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+2ⁿ=0的兩個(gè)根．
（1）求數(shù)列（a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二次方程的韋達(dá)定理，可得a_n•a_n+1=2ⁿ，可得奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均成等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）討論n為奇數(shù)，偶數(shù)，由等比數(shù)列的求和公式，奇數(shù)即可得到所求前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）由題意n∈N^*，a_n與a_n+1恰為方程x²-b_nx+2ⁿ=0的兩個(gè)根．
可得a_n•a_n+1=2ⁿ
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，
又∵a₁•a₂=2，a₁=1，a₂=2，
∴a₁，a₃，…，a_2n-1是前項(xiàng)為a₁=1，公比為2的等比數(shù)列，
a₂，a₄，…，a_2n是前項(xiàng)為a₂=2，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_2n-1=2^n-1，a_2n=2ⁿ n∈N^*
即${a_n}=\left\{\begin{array}{l}{2^{\frac{n-1}{2}}}，n=2k-1，k∈{N^+}\\{2^{\frac{n}{2}}}，n=2k，k∈{N^+}\end{array}\right.$；
又∵b_n=a_n+a_n+1
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${b_n}={2^{\frac{n-1}{2}}}+{2^{\frac{n+1}{2}}}=3•{2^{\frac{n-1}{2}}}$
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${b_n}={2^{\frac{n}{2}}}+{2^{\frac{n}{2}}}=2•{2^{\frac{n}{2}}}$
∴b_n=$\left\{{\begin{array}{l}{3×{2^{\frac{n-1}{2}}}，n為奇數(shù)}\\{{2^{1+\frac{n}{2}}}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$；
（2）S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
S_n=（b₁+b₃+…+b_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）
═$\frac{{3-3•{2^{\frac{n}{2}}}}}{1-2}+\frac{{4-4•{2^{\frac{n}{2}}}}}{1-2}$=7•${2^{\frac{n}{2}}}$-7，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
S_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n
=S_n-1+b_n=10•${2^{\frac{n-1}{2}}}$-7，
S_n=$\left\{{\begin{array}{l}{10×{2^{\frac{n-1}{2}}}-7，n為奇數(shù)}\\{7×{2^{\frac{n}{2}}}-7，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)求法，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．