Question

5．設(shè)底為等邊三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時，底面邊長為（　　）

• A． $\root{3}{4V}$
• B． $\root{3}{6V}$
• C． $\root{3}{8V}$
• D． $\sqrt{4V}$

Answer 1

分析 設(shè)底邊邊長為a，高為h，利用體積公式V=Sh得出h，再根據(jù)表面積公式得S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{4\sqrt{3}V}{a}$，最后利用導(dǎo)函數(shù)即得底面邊長．

解答 解：設(shè)底邊邊長為a，高為h，
則V=Sh=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×h，
∴h=$\frac{4\sqrt{3}V}{3{a}^{2}}$，
則表面積為S=3ah+2•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{4\sqrt{3}V}{a}$，
則S′=$\sqrt{3}$a-$\frac{4\sqrt{3}V}{{a}^{2}}$，
令$\sqrt{3}$a-$\frac{4\sqrt{3}V}{{a}^{2}}$=0可得a=$\root{3}{4V}$．
故選：A

點評 本小題主要考查棱柱、棱錐、棱臺、棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．