Question

12．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x+3y=1，則$\frac{1}{x}+\frac{3x}{y}$的最小值為7．

Answer 1

分析 正實(shí)數(shù)x，y滿足x+3y=1，可得$y=\frac{1-x}{3}$＞0，解得0＜x＜1．于是$\frac{1}{x}+\frac{3x}{y}$=$\frac{1}{x}+\frac{9x}{1-x}$=f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值即可得出．

解答 解：∵正實(shí)數(shù)x，y滿足x+3y=1，∴$y=\frac{1-x}{3}$＞0，解得0＜x＜1．
則$\frac{1}{x}+\frac{3x}{y}$=$\frac{1}{x}+\frac{9x}{1-x}$=f（x），
∴f′（x）=$-\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{（1-x）^{2}}$=$\frac{（2x+1）（4x-1）}{（x-{x}^{2}）^{2}}$，
當(dāng)x∈$（0，\frac{1}{4}）$時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈$（\frac{1}{4}，1）$時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4}$，y=$\frac{1}{4}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值，$f（\frac{1}{4}）$=4+3=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．