Question

10．如圖，已知正三角形BCD外一點(diǎn)A滿足AB=AD，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，且EF⊥DE，則∠BAC=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，CM，則BD⊥平面ACM，于是BD⊥AC，由中位線定理得EF∥AC，由EF⊥DE，故AC⊥DE，于是AC⊥平面ABD，得出AC⊥AB．

解答 解：取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)AM，CM，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AM⊥BD，CM⊥BD，又AM?平面ACM，CM?平面ACM，AM∩CM=M，
∴BD⊥平面ACM，∵AC?平面ACM，
∴BD⊥AC，
∵E，F(xiàn)是AB，BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，
∵EF⊥DE，
∴AC⊥DE，
又DE?平面ABD，BD?平面ABD，DE∩BD=D，
∴AC⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，
∴AC⊥AB．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，三線合一是等腰三角形中構(gòu)造垂線的常用依據(jù)，屬于中檔題．