Question

20．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，則△ABC為頂角為鈍角的等腰三角形．

Answer 1

分析 將已知等式平方，運用向量的平方即為模的平方和向量的夾角公式，即可得到三角形的形狀．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|，平方可得，
${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$²，
則有cosA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
即有A=$\frac{2π}{3}$．
則△ABC為頂角為鈍角的等腰三角形．
故答案為：頂角為鈍角的等腰．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，考查向量的模即為向量的平方，同時考查三角形的形狀判斷，屬于基礎題．