Question

18．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，a_n=log₂（b_n+1-b_n），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由首項a₁=2，$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比數(shù)列，可得$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，再利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由a_n=log₂（b_n+1-b_n），化為b_n+1-b_n=2²ⁿ=4ⁿ，利用“累加求和”可得b_n．再利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出：數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，
∵首項a₁=2，$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{2}^{2}}=\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{4}}$，
∴${a}_{2}^{2}={a}_{1}{a}_{4}$，
∴（2+d）²=2（2+3d），化為d²-2d=0，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）∵a_n=log₂（b_n+1-b_n），
∴b_n+1-b_n=2²ⁿ=4ⁿ，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₄-b₃）+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）+b₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+1
=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}×{4}^{n}-\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{3}×\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$-$\frac{1}{3}n$=$\frac{{4}^{n+1}}{9}$-$\frac{1}{3}n$-$\frac{4}{9}$．

點評 本題考查了“累加求和”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．