Question

2．求所有的定義域和值域均為自然數(shù)的函數(shù)f（x），使得：
（1）對(duì)任意自然數(shù)m，n，都有f（m²+n²）=f²（m）+f²（n）；
（2）f（1）＞0．

Answer 1

分析 根據(jù)已知可（1）對(duì)任意自然數(shù)m，n，都有f（m²+n²）=f²（m）+f²（n）；（2）f（1）＞0．可得f（0）=0，或f（0）=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可得滿足條件的函數(shù)解析式．

解答 解：∵對(duì)任意自然數(shù)m，n，都有f（m²+n²）=f²（m）+f²（n）；
令m=n=0，則f（0）=2f²（0）；
解得：f（0）=0，或f（0）=$\frac{1}{2}$，
令m=1，n=0，則f（1）=f²（1）+f²（0）；
若f（0）=$\frac{1}{2}$，則f（1）=$\frac{1}{2}$，滿足f（1）＞0，
令m=1，n=1，則f（2）=f²（1）+f²（1）；
則f（2）=$\frac{1}{2}$，
則存在函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$滿足條件，
若f（0）=0，由f（1）＞0得：f（1）=1，
令m=x，n=0，則f（x²）=f²（x）+f²（0）=f²（x）則，
此時(shí)僅有f（x）=x滿足條件，
故滿足條件的函數(shù)為f（x）=x或f（x）=$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知令x，y等于適合的值，進(jìn)而“湊”出要解答或證明的結(jié)論，是解答的關(guān)鍵．