Question

已知四棱錐PABCD如圖①所示，其三視圖如圖②所示，其中正視圖和側視圖都是直角三角形，俯視圖是矩形．

(1)求此四棱錐的體積；

(2)若E是PD的中點，求證：AE⊥平面PCD；

(3)在(2)的條件下，若F是PC的中點，證明：直線AE和直線BF既不平行也不異面．

Answer 1

 (1)解析：由題意可知，四棱錐PABCD的底面是邊長為2的正方形，其面積S_ABCD＝2×2＝4，高h＝2，所以V_PABCD＝S_ABCD·h＝×4×2＝.

(2)證明：由三視圖可知，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.

∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD.

又PA∩AD＝A，PA⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴CD⊥平面PAD.

∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD.

又△PAD是等腰直角三角形，E為PD的中點，

∴AE⊥PD.

又PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AE⊥平面PCD.

(3)證明：∵E，F分別是PD，PC的中點，∴EF∥CD且EF＝CD.

又∵CD∥AB且CD＝AB，∴EF∥AB且EF＝AB.

∴四邊形ABFE是梯形．

AE，BF是梯形的兩腰，故AE與BF所在的直線必相交．

∴直線AE和直線BF既不平行也不異面．