Question

19．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a${\;}_{1}=\frac{1}{4}$，a_n+b_n=1，b${\;}_{n+1}=\frac{_{n}}{1-{a}_{n}^{2}}$；
（1）求b₁、b₂、b₃、b₄；
（2）求證：數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是等差數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，若不等式4aS_n＜b_n對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過已知條件代入計算即得結(jié)論；
（2）通過$_{n+1}=\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$兩邊同時減1并取倒數(shù)，利用a_n+b_n=1化簡可知數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是等差數(shù)列，進而計算可得結(jié)論；
（3）通過（2）可知b_n=$\frac{n+2}{n+3}$，進而裂項可知a_na_n+1=$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$，并項相加可知S_n=$\frac{n}{4（n+4）}$，進而問題轉(zhuǎn)化為求$\frac{（n+2）（n+4）}{n（n+3）}$的最小值，計算即得結(jié)論．

解答 （1）解：依題意，b₁=1-a₁=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
b₂=$\frac{_{1}}{1-{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{{4}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，a₂=1-b₂=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
$_{3}=\frac{_{2}}{1-{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{1}{{5}^{2}}}$=$\frac{5}{6}$，a₃=1-b₃=1-$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，
$_{4}=\frac{_{3}}{1-{{a}_{3}}^{2}}$=$\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{1}{{6}^{2}}}$=$\frac{6}{7}$；
（2）證明：∵$_{n+1}=\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$，a_n+b_n=1，
∴b_n+1-1=$\frac{_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$-1=$\frac{_{n}}{_{n}+{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$-1=$\frac{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}}{_{n}+{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}$，
兩邊同時取倒數(shù)，得：$\frac{1}{_{n+1}-1}$=$\frac{_{n}+{a}_{n}-{{a}_{n}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}}$
=$\frac{_{n}}{{{a}_{n}}^{2}-{a}_{n}}$-1
=$\frac{{1-a}_{n}}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$-1
=$\frac{1}{-{a}_{n}}$-1
=$\frac{1}{_{n}-1}$-1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}-1}$}是等差數(shù)列，
又∵$\frac{1}{_{1}-1}$=$\frac{1}{\frac{3}{4}-1}$=-4，
∴$\frac{1}{_{n}-1}$=-4-（n-1）=-（n+3），
∴數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=1-$\frac{1}{n+3}$=$\frac{n+2}{n+3}$；
（3）解：由（2）可知b_n=$\frac{n+2}{n+3}$，
∴a_n=1-b_n=$\frac{1}{n+3}$，a_na_n+1=$\frac{1}{（n+3）（n+4）}$=$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{n+3}$-$\frac{1}{n+4}$
=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{n+4}$
=$\frac{n}{4（n+4）}$，
∵不等式4aS_n＜b_n對任意n∈N^*恒成立，
∴不等式4a•$\frac{n}{4（n+4）}$＜$\frac{n+2}{n+3}$對任意n∈N^*恒成立，
∴a＜$\frac{（n+2）（n+4）}{n（n+3）}$=1+$\frac{3n+8}{{n}^{2}+3n}$，
∵$\frac{3n+8}{{n}^{2}+3n}$隨著n的增大而減小，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{3n+8}{{n}^{2}+3n}$=0，
∴a≤1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查裂項相消法，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．