Question

設數列的前n項和為，且（）.

（1）求，，，的值；

（2）猜想的表達式，并加以證明.

Answer 1

解：（1）因為，，              

所以，當時，有，解得；                  

當時，有，解得；              

當時，有，解得；          

當時，有，解得.      

（2）猜想（）                                    

方法一：

由（），得（），          

兩式相減，得，即（）.           

兩邊減2，得，                                   

所以{}是以-1為首項，為公比的等比數列，

故，                                            

即（）.                                       

方法二：

①當n=1時，由（1）可知猜想顯然成立；                           

②假設當n=k時，猜想成立，即，                        

由（），得，

兩式相減，得，                                   

所以，

即當n=k+1時，猜想也成立.                                     

根據①和②，知對任意，猜想成立.