Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=2^-|x|為偶函數(shù)；
②函數(shù)y=1是周期函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點有2個；
④函數(shù)g（x）=|log₂ x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂且x₁•x₂＜1．
其中真命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,簡易邏輯

分析：①令f（x）=2^-|x|，利用偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）即可判斷出；
②令f（x）=1，T＞0，利用周期函數(shù)的定義f（x+T）=f（x）即可判斷出；
③容易驗證x=2，4是函數(shù)的零點．利用函數(shù)零點判定存在定理可判斷在區(qū)間（-1，0）時存在零點．
④畫出函數(shù)函數(shù)g（x）=|log₂ x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）的圖象即可判斷出．

解答： 解：①令f（x）=2^-|x|，則f（-x）=f（x），∴函數(shù)y=2^-|x|為偶函數(shù)；
②令f（x）=1，T＞0，則f（x+T）=f（x）=1，∴函數(shù)y=1是周期函數(shù)；
③由函數(shù)f（x）=2^x-x²，
∵f（2）=f（4）=0，∴x=2，4是函數(shù)的零點．
又f（0）=1＞0，f（-1）=2^-1-（-1）²=-

1

2

＜0，∴f（0）f（-1）＜0．
∴在區(qū)間（-1，0）時存在零點．
∴函數(shù)共有3個零點．因此不正確．
④畫出函數(shù)函數(shù)g（x）=|log₂ x|-（

1

2

）^x在（0，+∞）的圖象：
上恰有兩個零點x₁，x₂．
不妨設(shè)x₁＜x₂．
則0＜x₁＜1＜x₂．
-log2x1=(

1

2

)x1，log₂x₂=(

1

2

)x2．
∴l(xiāng)og₂（x₁x₂）=(

1

2

)x2-(

1

2

)x1＜0，
∴x₁•x₂＜1．
因此正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性、函數(shù)零點判定定理、數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．