Question

15．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線與橢圓交于A、B兩點，若△F₁AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則離心率為 （　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$-2
• D． $\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，若△ABF₁構成以A為直角頂點的等腰直角三角形，則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，再由橢圓的定義和周長的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，開方得答案．

解答 解：如圖，設|F₁F₂|=2c，|AF₁|=m，
若△ABF₁構成以A為直角頂點的等腰直角三角形，
則|AB|=|AF₁|=m，|BF₁|=$\sqrt{2}$m，
由橢圓的定義可得△ABF₁的周長為4a，
即有4a=2m+$\sqrt{2}$m，即m=2（2-$\sqrt{2}$）a，
則|AF₂|=2a-m=（2$\sqrt{2}$-2）a，
在直角三角形AF₁F₂中，
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²，
即4c²=4（2-$\sqrt{2}$）²a²+4（$\sqrt{2}$-1）²a²，
∴c²=（9-6$\sqrt{2}$）a²，
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=9-6$\sqrt{2}$=$9-2\sqrt{18}$，
∴e=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，主要考查離心率的求法，同時考查勾股定理的運用，靈活運用橢圓的定義是解題的關鍵，是中檔題．