Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-px+q，且不等式|f（x）|≤2當(dāng)1≤x≤5時(shí)恒成立，則f（3）的值是-2．

Answer 1

分析 此題要求f_（3）的值，須知f_（x）的解析式，即求出p，q的值；已知條件是|f（x）|≤2對于1≤x≤5恒成立，所以問題轉(zhuǎn)化為f_（x）在區(qū)間[1，5]的值域問題，即f_（x）在[1，5]的值域?yàn)閇-2，2]恒成立，因?yàn)樵�函�?shù)含有待定系數(shù)所以單調(diào)性不確定，故需討論對稱軸的位置以確定f_（x）的單調(diào)性，從而確定其值域，進(jìn)而確定p，q的取值．具體討論過程分為3步：對稱軸在1的左邊則遞增；在5的右邊則遞減；在1和5之間時(shí)，單調(diào)性不唯一，所以還需分情況討論，討論何時(shí)取得的最大值．

解答 解：函數(shù)${f}_{（x）}={x}^{2}-px+q$對于?x∈[1，5]有不等式|f（x）|≤2恒成立，
∴函數(shù)在[1，5]上的值域?yàn)閇-2，2]恒成立，
函數(shù)f_（x）的對稱軸為$x=-\frac{2a}=-\frac{-p}{2×1}=\frac{p}{2}$，故分類討論如下：
1）．當(dāng)$x=\frac{p}{2}＜1，即p＜2$時(shí)，函數(shù)在[1，5]上為單調(diào)增函數(shù)，
∴其值域?yàn)閇f_（1），f_（5）]，滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{（1）}={1}^{2}-1p+q≥-2}\\{{f}_{（5）}={5}^{2}-5p+q≤2}\end{array}\right.$即可，求得p≥5，與p＜2矛盾，故不合題意舍去；
2）．當(dāng)$x=\frac{p}{2}＞5，即p＞10$時(shí)，函數(shù)在[1，5]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴其值域?yàn)閇f_（5），f_（1）]，滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{（5）}={5}^{2}-5p+q≥-2}\\{{f}_{（1）}={1}^{2}-1p+q≤2}\end{array}\right.$即可，求得p≤7，與p＞10矛盾，故不合題意舍去；
3）．當(dāng)$1≤x=\frac{p}{2}≤5，即2≤p≤10$時(shí)，函數(shù)在[1，5]上單調(diào)性不唯一，所以需要根據(jù)對稱軸的位置再分類；
a）．當(dāng)$1≤x=\frac{p}{2}＜3，即2≤p＜6$時(shí)，函數(shù)在[1，5]上先為減函數(shù)后為增函數(shù)，并在x=5時(shí)取得最大值，在$x=\frac{p}{2}$時(shí)取得最小值，
∴其值域?yàn)?[{f}_{（\frac{p}{2}）}，{f}_{（5）}]$，滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{（\frac{p}{2}）}=（\frac{p}{2}）^{2}-p×\frac{p}{2}+q≥-2}\\{{f}_{（5）}={5}^{2}-5p+q≤2}\end{array}\right.$即可，求得6≤p≤14，與2≤p＜6矛盾，故不合題意舍去；
b）．當(dāng)$3＜x=\frac{p}{2}≤5，即6＜p≤10$時(shí)，函數(shù)在[1，5]上先為減函數(shù)后為增函數(shù)，并在x=1時(shí)取得最大值，在$x=\frac{p}{2}$時(shí)取得最小值，
∴其值域?yàn)?[{f}_{（\frac{p}{2}）}，{f}_{（1）}]$，滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{（\frac{p}{2}）}=（\frac{p}{2}）^{2}-p×（\frac{p}{2}）+q≥-2}\\{{f}_{（1）}={1}^{2}-1p+q≤2}\end{array}\right.$即可，求得-2≤p≤6，與6＜p≤10矛盾，故不合題意舍去；
c）．當(dāng)$x=\frac{p}{2}=3，即p=6$時(shí)，函數(shù)在[1，5]上關(guān)于x=3對稱，最大值為f_（1）=f_（5），最小值為f_（3），
∴其值域?yàn)閇f_（3），f_（1）]，此時(shí)韓式解析式為${f}_{（x）}={x}^{2}-6x+q$，滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{{f}_{（3）}={3}^{2}-6×3+q≥-2}\\{{f}_{（1）}={1}^{2}-6×1+q≤2}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{q≥7}\\{q≤7}\end{array}\right.$
∴q=7，函數(shù)解析式為${f}_{（x）}={x}^{2}-6x+7$，所以f_（3）=-2
故：答案應(yīng)填-2

點(diǎn)評 本題雖是關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立問題，但是本質(zhì)上是考察對二次函數(shù)的值域掌握情況，運(yùn)用分類討論的方法確定二次函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的值域，從而確定待定系數(shù)的值求出解析式．