Question

4．已知函數(shù)f（x）=ax-（1+a）lnx-$\frac{1}{x}$，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；
（2）已知函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線與x軸平行，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-bx（1≤x≤2）}\\{（1-b）x-1（2＜x≤3）}\end{array}\right.$．且對任意x₁∈（0，e]，存在x₂∈[1，3]，使得f（x₁）+g（x₂）≤0，求實(shí)數(shù)b的最小值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，集合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）問題等價于g（x₂）≤-f（x₁），通過討論b法范圍，求出g（x）的最小值，從而求出b的最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=a-$\frac{1+a}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}-（a+1）x+1}{{x}^{2}}$=$\frac{（ax-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，x＞0-------（2分）
①若a＞0，則
當(dāng)$\frac{1}{a}$＞1，即0＜a＜1時，f′（x）＞0⇒0＜x＜1或x＞$\frac{1}{a}$；f′（x）＜0⇒1＜x＜$\frac{1}{a}$
f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和（$\frac{1}{a}$，+∞），減區(qū)間為（1，$\frac{1}{a}$）
此時f（x）的極大值點(diǎn)為1，極小值點(diǎn)為$\frac{1}{a}$；
當(dāng)$\frac{1}{a}$＜1，即a＞1時，同理，此時f（x）的極大值點(diǎn)為$\frac{1}{a}$，極小值點(diǎn)為1；
當(dāng)a=1時，沒有極值點(diǎn)；
②若a＜0，則f′（x）＞0⇒0＜x＜1；f′（x）＜0⇒x＞1
此時f（x）的極大值點(diǎn)為1，沒有極小值點(diǎn)．
綜上，若a＜0，則f（x）的極大值點(diǎn)為1，沒有極小值點(diǎn)；
若0＜a＜1，則f（x）的極大值點(diǎn)為1，極小值點(diǎn)為$\frac{1}{a}$；
若a=1，則沒有極值點(diǎn)；
若a＞1時，則f（x）的極大值點(diǎn)為$\frac{1}{a}$，極小值點(diǎn)為1．-------（6分）
（2）易知，f′（2）=0⇒a=$\frac{1}{2}$，由（1）可知函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和（2，+∞），減區(qū)間為（1，2），
又f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{e}{2}$-$\frac{1}{e}$-$\frac{3}{2}$＜-$\frac{1}{2}$，可知當(dāng)x∈（0，e]時，≤-$\frac{1}{2}$
而f（x₁）+g（x₂）≤0?g（x₂）≤-f（x₁），又x₁∈（0，e]時，
-f（x₁）≥$\frac{1}{2}$由已知，應(yīng)存在x∈[1，3]，使得g（x）_min≤$\frac{1}{2}$，-------（8分）
當(dāng)b＜0時，g（x）在[1，3]上遞增，g（x）_min=g（1）=1-b≤$\frac{1}{2}$⇒b≥$\frac{1}{2}$，不合題意；
當(dāng)b＞1時，g（x）在[1，3]上遞減，g（x）_min=g（3）=2-3b≤$\frac{1}{2}$⇒b≥$\frac{1}{2}$，故b＞1，
當(dāng)0≤b≤1時，若x∈[1，2]，g（x）=1-bx，g（2）≤g（x）≤g（3），
若x∈[2，3]，g（x）=（1-b）x-1，g（2）≤g（x）≤g（3），
故g（x）_min=g（2）=1-2b≤$\frac{1}{2}$⇒b≥$\frac{1}{4}$，
故$\frac{1}{4}$≤b≤1，
綜上，b≥$\frac{1}{4}$，即b_min=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查分類討論思想，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是解答此類問題的關(guān)鍵，本題難度較大．