Question

10．某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分成抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）分為5組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）寫出a的值；
（2）試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不小于30個小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；
（3）從閱讀時(shí)間不足10個小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用X表示其中初中生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率頻率直方圖的性質(zhì)，可求得a的值；
（2）由分層抽樣，求得初中生有60名，高中有40名，分別求得初高中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率及人數(shù)，求和；
（3）分別求得，初高中生中閱讀時(shí)間不足10個小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，寫出X的取值及概率，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率直方圖的性質(zhì)，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，
a=0.03，
（2）由分層抽樣可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，
∵初中生中，閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率為（0.03+0.005）×10=0.25，
∴所有的初中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生約有0.25×1800=450人，
同理，高中生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生的頻率為（0.03+0.005）×10=0.035，
學(xué)生人數(shù)約為0.35×1200=420人，
所有的學(xué)生閱讀時(shí)間不小于30小時(shí)的學(xué)生約有450+420=870，
（3）初中生中閱讀時(shí)間不足10個小時(shí)的學(xué)生的頻率為0.005×10=0.05，樣本人數(shù)為0.05×60=3人，
同理，高中生中閱讀時(shí)間不足10個小時(shí)的學(xué)生的頻率為0.005×10×40=2，
故X的可能取值為：1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}•{C}_{2}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴E（X）=1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，分布列和期望求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．