Question

9．給定橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），稱圓x²+y²=a²+b²為橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的短軸長為2，離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，與其“伴隨圓”交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)|CD|=$\sqrt{13}$時，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得，根據(jù)離心率公式以及b=1，知a²=3，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）分類討論，當(dāng)CD⊥x軸時，當(dāng)CD與x軸不垂直時，設(shè)直線CD的方程為y=kx+m，則韋達(dá)定理以及弦長公式和基本不等式求出弦長的最大值，由此能求出△AOB的面積取最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
又∵b=1，∴a²=3，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
（Ⅱ）“伴隨圓”的方程為x²+y²=4，
①當(dāng)CD⊥x軸時，由|CD|=$\sqrt{13}$，得|AB|=$\sqrt{3}$．
②當(dāng)CD與x軸不垂直時，由|CD|=$\sqrt{13}$，得圓心O到CD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設(shè)直線CD的方程為y=kx+m，則由$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得m²=$\frac{3}{4}$（k²+1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{3{k}^{2}+1}$．
當(dāng)k≠0時，|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²，
=（1+k²）[$（\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}）^{2}$-$\frac{12（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$]，
=$\frac{3（1+{k}^{2}）（9{k}^{2}+1）}{（3{k}^{2}+1）^{2}}$，
=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$，
=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$，
≤3+$\frac{12}{2×3+6}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時等號成立，此時|AB|=2．
當(dāng)k=0時，|AB|=$\sqrt{3}$，綜上所述：|AB|_max=2，
此時△AOB的面積取最大值S=|AB|_max×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓和“伴隨圓”的方程，考查三角形面積最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化