Question

6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}$．
（1）求角A的大小；
（2）若函數(shù)f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，在x=B處取到最大值a，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，整理可求得cosA的值，進而求得A．
（2）把利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)最大值時B，C和a的值，進而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答 解：（1）因為1+$\frac{sinA}{cosA}$•$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，
所以$\frac{sinC}{cosA}$=2sinC，
又因為sinC≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$，
所以A=$\frac{π}{3}$．
（2）因為f（x）=2sin²（x+$\frac{π}{4}$）-$\sqrt{3}$cos2x=1+2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
所以，當2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{12}$時，f（x）_max=3，
此時B=$\frac{5π}{12}$，C=$\frac{π}{4}$，a=3．
因為$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，所以c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{3×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{6}$，
則S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題主要考查了正弦定理和三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學生基礎(chǔ)公式的運用和一定的運算能力．