Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），對?x∈R，f′（x）＜x．若f（1-a）-f（a）≤$\frac{1}{2}$-a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，求出g（x）的單調(diào)性，問題等價(jià)于f（1-a）-$\frac{1}{2}$（1-a）²≤f（a）-$\frac{1}{2}$a²，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，則g′（x）=f′（x）-x，而f′（x）＜x，
∴g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函數(shù)g（x）在R遞減，
∴f（1-a）-f（a）≤$\frac{1}{2}$-a等價(jià)于f（1-a）-$\frac{1}{2}$（1-a）²≤f（a）-$\frac{1}{2}$a²，
即g（1-a）≤g（a），∴1-a≥a，解得a≤$\frac{1}{2}$，
故答案為：a≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．