Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，沿AD將△ABC折成60°的二面角B－AD－C，如圖2.

(1)證明：平面ABD⊥平面BCD；

(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，BD＝2，求異面直線AE與BD所成的角的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）異面直線AE與BD所成的角的大小為60°.

【解析】試題分析：（1）由折疊可知AD⊥CD，AD⊥BD，再根據(jù)線面垂直判定定理得AD⊥平面BCD.最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論（2）線線角找平行：取CD的中點(diǎn)F，則結(jié)合三角形中位線性質(zhì)得∠AEF為異面直線AE與BD所成的角，最后通過解三角形得異面直線AE與BD所成的角的大小

試題解析：(1)因?yàn)檎燮鹎癆D是BC邊上的高，

則當(dāng)△ABD折起后，AD⊥CD，AD⊥BD

又CD∩BD＝D，則AD⊥平面BCD.

因?yàn)锳D平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.

(2)取CD的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥BD，

所以∠AEF為異面直線AE與BD所成的角．

連結(jié)AF、DE.由BD＝2，則EF＝1，AD＝2，CD＝6，DF＝3.

在Rt△ADF中，AF＝＝.

在△BCD中，由題設(shè)∠BDC＝60°，則

BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝28，即BC＝2，

從而BE＝BC＝，cos∠CBD＝＝－.

在△BDE中，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos∠CBD＝13.

在Rt△ADE中，AE＝＝5.

在△AEF中，cos∠AEF＝＝.

所以異面直線AE與BD所成的角的大小為60°.