Question

5．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，π]，且滿足cosxf′（x）＞sinxf（x），則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{3}$）
• B． f（$\frac{π}{4}$）＞-f（$\frac{3π}{4}$）
• C． f（1）f（2）＞0
• D． f（2）f（3）＜0

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即得到結(jié)論．

解答 解：由cosxf′（x）＞sinxf（x），x∈[0，π]，
得：f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，
令g（x）=cosxf（x），x∈[0，π]，
則g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，
所以函數(shù)g（x）在x∈[0，π]上為增函數(shù)，
則g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（1）＜g（$\frac{π}{3}$）＜g（2）＜g（$\frac{3π}{4}$）＜g（3），
則cos（$\frac{π}{6}$）f（$\frac{π}{6}$）＜cos（$\frac{π}{4}$）f（$\frac{π}{4}$）＜cos（1）f（1）＜cos（$\frac{π}{3}$）f（$\frac{π}{3}$）＜cos2f（2）＜cos$\frac{3π}{4}$f（$\frac{3π}{4}$）＜cos3f（3），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）＜2cos1f（1）＜f（$\frac{π}{3}$）＜2cos2f（2）＜-$\sqrt{2}$f（$\frac{3π}{4}$）＜2cos3f（3），
故D正確，A，B，C錯(cuò)誤，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，屬中檔題型．