Question

19．設(shè)ω∈N^*且ω≤15，則使函數(shù)y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)的ω的個數(shù)是8．

Answer 1

分析 使函數(shù)y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)，只需對稱軸在[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]即可．

解答 解：根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)：
對稱軸方程為ωx=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z）．
解得：x=$\frac{π}{2ω}+\frac{kπ}{ω}$，（k∈Z）．
∵函數(shù)y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)，
∴$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{2ω}+\frac{kπ}{ω}$＜$\frac{π}{3}$，（k∈Z），
解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．
由題意：ω∈N^*且ω≤15
當(dāng)k=0時，1.5＜ω＜2，此時ω沒有正整數(shù)可�。�
當(dāng)k=1時，4.5＜ω＜6，此時ω可以�。�5；
當(dāng)k=2時，7.5＜ω＜10，此時ω可以取：8，9；
當(dāng)k=3時，10.5＜ω＜14，此時ω可以�。�11，12，13；
當(dāng)k=4時，13.5＜ω＜18，此時ω可以�。�14，15；
∴ω∈N^*且ω≤15，y=sinωx在區(qū)間[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上不單調(diào)時，ω可以4個數(shù)，即，5，8，9，11，12，13；14，15．
故答案為：8．

點評 本題考查了正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)的靈活運用．屬于基礎(chǔ)題．