Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，點M是棱PC的中點，AM⊥平面PBD．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求直線PC與平面AMD所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）建立空間直角坐標系，求出PA，即可求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）先求出平面AMD的一個法向量，

CP

與

n

的夾角的余弦值就等于

CP

與平面AMD夾角的正弦值．

解答： 解：（1）以A為原點，AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．…（1分）
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
…（1分）
設PA=a，則P（0，0，a），
因為M是PC中點，所以M（

1

2

，

1

2

，

a

2

），…（1分）
所以

AM

=（

1

2

，

1

2

，

a

2

），

BD

=（-1，1，0），

BP

=（-1，0，a）．…（1分）
因為AM⊥平面PBD，所以

AM

⊥

BD

，

AM

⊥

BP

，
所以-

1

2

+

a2

2

=0，解得a=1．…（1分）
所以PA=1，四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

．  …（1分）
（2）

AM

=（

1

2

，

1

2

，

1

2

），

AD

=（0，1，0），
設平面AMD的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

x+y+z=0 y=0

，可得

n

=（-1，0，1），…（3分）
又

CP

=（-1，-1，1），設

CP

與

n

的夾角為θ，則cosθ=

6

3

．…（2分）
所以，直線PC與平面AMD所成角的大小為arcsin

6

3

．    …（1分）

點評：本題考查線面成的角、四棱錐P-ABCD的體積，兩個向量的數(shù)量積的定義以及兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算，注意向量CP和平面法向量的夾角的余弦值就等于PC與平面所成角的正弦值，這是解題的易錯點．