Question

6．設(shè)f（x）=|lgx|，若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{e}}）$
• B． $（{\frac{lg2}{2}，\frac{lge}{e}}）$
• C． $（{\frac{lg2}{2}，e}）$
• D． $（{0，\frac{lg2}{2}}）$

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，利用數(shù)形結(jié)合，推出3個(gè)零點(diǎn)滿足的情況，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，推出結(jié)果即可．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-ax在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)零點(diǎn)，
就是g（x）=f（x）-ax=0在區(qū)間（0，4）上有三個(gè)根，
也就是f（x）=ax的根有3個(gè)，
即兩個(gè)函數(shù)y=f（x）與y=ax圖象在區(qū)間（0，4）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)．
如圖：由題意以及函數(shù)的圖象可知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，直線y=ax過A，與l之間時(shí)，滿足題意．
A（4，lg4），k_OA=$\frac{lg2}{2}$．
設(shè)l與y=lgx的切點(diǎn)為（t，f（t）），
可得y′=$\frac{1}{xln10}$，切線的斜率為：$\frac{1}{tln10}$=$\frac{f（t）}{t}$=$\frac{lgt}{t}$，即lgt=lge，t=e．
可得切線l的斜率為：$\frac{lge}{e}$，
a∈$（\frac{lg2}{2}，\frac{lge}{e}）$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是中檔題．