Question

12．二項(xiàng)式${（{|a|x-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）^3}$的展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$的值為3或$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先求二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出第二項(xiàng)系數(shù)，從而求出a的值，然后根據(jù)定積分的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可．

解答 解：二項(xiàng)式${（{|a|x-\frac{{\sqrt{3}}}{6}}）^3}$的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{3}^{r}$（|a|x）^3-r（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）^r，
∵展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴${C}_{3}^{1}$|a|^3-1（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）¹=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得：a=±1，
當(dāng)a=-1時(shí)，$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$=${∫}_{-2}^{-1}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$${|}_{-2}^{-1}$=$\frac{1}{3}$[-1-（-8）]=$\frac{7}{3}$，
當(dāng)a=1時(shí)，$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$=${∫}_{-2}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}$${|}_{-2}^{1}$=$\frac{1}{3}$[1-（-8）]=3，
∴$\int_{-2}^a{{x^2}dx}$的值為3或$\frac{7}{3}$．
故答案為：3或$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求定積分的值，屬于中檔題．