Question

17．已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）求證：無論m取什么實數(shù)，直線l恒過第一象限；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時m的值以及最短長度；
（3）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點；
（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長；
（3）由CM⊥DM得AB中點M的軌跡方程．

解答 （1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x+y-7=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=1，
故l恒過定點D（3，1）
∵D（3，1）在第一象限，
∴直線l恒過第一象限；
（2）解：因為（3-1）²+（1-2）²=5＜25，
則點D在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C相交．
圓心C（1，2），半徑為5，|CD|=$\sqrt{5}$，
當(dāng)截得的弦長最小時，l⊥CD，由于k_CD=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
則l的斜率為2，即有-$\frac{2m+1}{m+1}$=2，解得m=-$\frac{3}{4}$．
此時最短弦長為2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$，
故當(dāng)m=-$\frac{3}{4}$時，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長是4$\sqrt{5}$．
（3）解：設(shè)M（x，y），則由CM⊥DM得$\frac{y-2}{x-1}$•$\frac{y-1}{x-3}$=-1，∴x²+y²-4x-3y+5=0．

點評 本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識的運用，考查計算能力，屬于中檔題．