Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=$\frac{1}{4}$，且$\frac{1}{n{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：a₁²+a₂²+…+a_n²＜$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 （1）通過對$\frac{1}{n{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$整理、變形可知a_n+1=$\frac{n-1}{\frac{n}{{a}_{n}}-1}$，利用a₁=1、a₂=$\frac{1}{4}$計算出前幾項的值，猜想a_n=$\frac{1}{3n-2}$并用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（2）通過（1）放縮可知a_n²＜$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-4}$-$\frac{1}{3n-1}$）（n≥2），進而并項相加即得結(jié)論．

解答 （1）解：∵$\frac{1}{n{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{（n-1）{a}_{n}}$=-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{（n-1）{a}_{n}-n{a}_{n+1}}{n（n-1）{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-$\frac{1}{n（n-1）}$，
∴$\frac{（n-1）{a}_{n}-n{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=-1，
∴$\frac{n-1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{n}{{a}_{n}}$=-1，即a_n+1=$\frac{n-1}{\frac{n}{{a}_{n}}-1}$，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{4}$，
∴a₃=$\frac{2-1}{\frac{2}{{a}_{2}}-1}$=$\frac{1}{\frac{2}{\frac{1}{4}}-1}$=$\frac{1}{7}$，
a₄=$\frac{3-1}{\frac{3}{{a}_{3}}-1}$=$\frac{2}{\frac{3}{\frac{1}{7}}-1}$=$\frac{1}{10}$，
…，
猜想：a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時有a_k=$\frac{1}{3k-2}$，
則a_k+1=$\frac{k-1}{\frac{k}{{a}_{k}}-1}$=$\frac{k-1}{\frac{k}{\frac{1}{3k-2}}-1}$=$\frac{k-1}{3{k}^{2}-2k-1}$=$\frac{1}{3（k+1）-2}$，
即當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立；
由①②可知a_n=$\frac{1}{3n-2}$；
（2）證明：由（1）可知a_n=$\frac{1}{3n-2}$，
∴a_n²=$\frac{1}{（3n-2）^{2}}$＜$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-4}$-$\frac{1}{3n-1}$）（n≥2），
∴a₁²+a₂²+…+a_n²≤1+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-4}$-$\frac{1}{3n-1}$）
=1+$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n-1}$）
＜$\frac{7}{6}$．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，涉及數(shù)學(xué)歸納法、裂項相消法等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．