Question

15．一種智能手機電子閱讀器，特別設(shè)置了一個“健康閱讀”按鈕，在開始閱讀或者閱讀期間的任意時刻按下“健康閱讀”按鈕后，手機閱讀界面的背景會變?yōu)樗{色或綠色以保護閱讀者的視力．假設(shè)“健康閱讀”按鈕第一次按下后，出現(xiàn)藍色背景與綠色背景的概率都是$\frac{1}{2}$．從按鈕第二次按下起，若前次出現(xiàn)藍色背景，則下一次出現(xiàn)藍色背景、綠色背景的概率分別為$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$；若前次出現(xiàn)綠色背景，則下一次出現(xiàn)藍色背景、綠色背景的概率分別為$\frac{3}{5}$、$\frac{2}{5}$．記第n（n∈N，n≥1）次按下“健康閱讀”按鈕后出現(xiàn)藍色背景概率為P_n．
（Ⅰ）求P₂的值；
（Ⅱ）當n∈N，n≥2時，試用P_n-1表示P_n；
（Ⅲ）求P_n關(guān)于n的表達式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算按鈕第一次、第二次按下后均出現(xiàn)藍色背景與第一次、第二次按下后依次出現(xiàn)綠色、藍色背景的概率，再求和即可；
（Ⅱ）考慮第n-1次按下按鈕后出現(xiàn)藍色背景的概率與出現(xiàn)綠色背景的概率，計算第n-1次、第n次按下按鈕后均出現(xiàn)藍色背景與第n-1次、第n次按下按鈕后依次出現(xiàn)綠色背景、藍色背景的概率，求和得P_n與P_n-1的遞推式；
（Ⅲ）由得P_n與P_n-1的遞推式，得出$\{{P_n}-\frac{9}{19}\}$是等比數(shù)列，求出P_n的通項公式即可．

解答 解：（Ⅰ）若按鈕第一次、第二次按下后均出現(xiàn)藍色背景，
則其概率為$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$；
若按鈕第一次、第二次按下后依次出現(xiàn)綠色背景、藍色背景，
則其概率為$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{3}{10}$；
所以，所求的概率為${P_2}=\frac{1}{6}+\frac{3}{10}=\frac{7}{15}$；…（4分）
（Ⅱ）第n-1次按下按鈕后出現(xiàn)藍色背景的概率為P_n-1（n∈N，n≥2），
則出現(xiàn)綠色背景的概率為1-P_n-1；
若第n-1次、第n次按下按鈕后均出現(xiàn)藍色背景，
則其概率為${P_{n-1}}×\frac{1}{3}$；
若第n-1次、第n次按下按鈕后依次出現(xiàn)綠色背景、藍色背景，
則其概率為$（1-{P_{n-1}}）×\frac{3}{5}$；
所以，${P_n}=\frac{1}{3}{P_{n-1}}+\frac{3}{5}（1-{P_{n-1}}）=-\frac{4}{15}{P_{n-1}}+\frac{3}{5}$，
（其中n∈N，n≥2）；…（8分）
（Ⅲ）由（2）得，${P_n}-\frac{9}{19}=-\frac{4}{15}（{P_{n-1}}-\frac{9}{19}）$，
即$\frac{{P}_{n}-\frac{9}{19}}{{P}_{n-1}-\frac{9}{19}}$=-$\frac{4}{15}$，（其中n∈N，n≥2）；
所以，$\{{P_n}-\frac{9}{19}\}$是首項為$\frac{1}{38}$，公比為$-\frac{4}{15}$的等比數(shù)列，
所以，P_n-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$；
即${P_n}=\frac{1}{38}{（-\frac{4}{15}）^{n-1}}+\frac{9}{19}（n∈N，n≥1）$．…（12分）

點評 本題考查了古典概型的概率的應用問題，也考查了遞推數(shù)列的應用問題，考查了等比數(shù)列的定義與通項公式的應用問題，是綜合性題目．