Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是以AD為底的等腰三角形．
（Ⅰ）證明：AD⊥PB；
（Ⅱ）若四棱錐P-ABCD的體積等于$\frac{3}{2}$，問：是否存在過點C的平面CMN，分別交PB，AB 于點M，N，使得平面CMN∥平面PAD？若存在，求出△CMN
的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意取AD的中點G，連接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，且∠DAB=60°得BG⊥AD，證出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB；
（Ⅱ）分別取PA、AB的中點M、N，連結CM、MN、NC，證明四邊形ANCD為平行四邊形，可得平面CMN∥平面PAD．證明△CBM是直角三角形，可得結論．

解答 （Ⅰ）證明：取AD的中點G，連接PG、GB、BD∵PA=PD，
∴PG⊥AD．（2分）
∵AB=AD，且∠DAB=60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，
又∵PG∩BG=G，PG、BG?平面PGB
∴AD⊥平面PGB．
∴AD⊥PB．（5分）
（Ⅱ）解：存在，理由如下：
分別取PA、AB的中點M、N，連結CM、MN、NC，則MN∥PA；
∵ABCD是梯形，且DC平行且等于$\frac{1}{2}$AB，
∴DC平行且等于AN，于是，四邊形ANCD為平行四邊形，
∴平面CMN∥平面PAD．
由（Ⅰ）知，MN=1，CN=2，在△PBC與在△CBM中：$\frac{PB}{BC}=\frac{BC}{BM}=\sqrt{2}$，
∴△PBC∽△CBM，得CM=$\sqrt{3}$，∴△CBM是直角三角形，
∴${S_{△CMN}}=\frac{1}{2}•CM•MN=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點評 本題主要考查了線面垂直和平行的判定定理的應用，主要用了中位線和等腰三角形的中線證明線線平行和垂直．