Question

2．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AB=AC，D，E，F分別為B₁A，C₁C，BC的中點．
（I）求證：DE∥平面ABC；
（II）求證：平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析 （I）要證DE∥平面ABC，只需證明DE平行平面ABC內的直線DG（設G是AB的中點，連接DG）；
（II）欲證平面AEF⊥平面BCC₁B₁，根據面面垂直的判定定理可知，證AF⊥平面BCC₁B₁即可．

解答 證明：（I）設G是AB的中點，連接DG，FG
則DG$\stackrel{∥}{=}$EC，
所以四邊形DECG是平行四邊形，所以DE∥GC，
從而DE∥平面ABC．
（II）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，
∴AF⊥CC₁，
∵AB=AC，F為BC中點，∴AF⊥BC
又BC∩CC₁=C，
∴AF⊥平面BCC₁B₁，
又AF?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面BCC₁B₁．

點評 本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及線面關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查邏輯思維能力，是中檔題．