Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$．
（1）證明：f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
（2）若x＞1時，f（x）＞$\frac{m+1}{x}$恒成立，求整數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可證明；
（2）構(gòu)造函數(shù)令g（x）=xf（x），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最小值，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知g（x₀）∈（3，4），即可求出整數(shù)m的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，x＞1，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•（x-1）-（1+lnx）}{（x-1）^{2}}$=-$\frac{1+xlnx}{x（x-1）^{2}}$，
∵x＞1，
∴xlnx＞0，
∴f′（x）＜0在（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)；
（2）∵x＞1時，f（x）＞$\frac{m+1}{x}$恒成立，
∴m+1＜xf（x）在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$-x•$\frac{1+xlnx}{x（x-1）^{2}}$=$\frac{x-2-lnx}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-2-lnx，分別畫出y=x-2和y=lnx的圖象，如圖所示，
∵h(yuǎn)（3）=3-2-ln3＜0，h（4）=4-2-ln4=2-ln4＞0，
∴h（x）在（3，4）上存在零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為x₀，
當(dāng)g′（x）＞0時，解得x＞x₀，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時，解得1＜x＜x₀，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=x₀時，g（x）有最小值，
∴g（x₀）=x₀f（x₀）∈（3，4），
∴m+1的最大值為3
∴整數(shù)m的最大值為2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及恒成立的問題，關(guān)鍵是求導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，屬于難題．