【題目】設(shè)橢圓C: ,定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為,若拋物線的焦點與橢圓C的一個焦點重合,且橢圓C短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形。
(I)求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程;
(II)過“相關(guān)圓”E上任意一點P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點。
(i)證明∠AOB為定值;
(ii)連接PO并延長交“相關(guān)圓”E于點Q,求△ABQ面積的取值范圍。
【答案】(1) (2) (i)見解析(ii)
【解析】試題分析:(Ⅰ)由拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合,且橢圓C短軸的一個端點和兩個焦點構(gòu)成直角三角形,得到 由此能求出橢圓的方程.
進(jìn)而求出“相關(guān)圓”的方程.
(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線方程為 ;當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,代入橢圓方程,得 由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線與圓相切,結(jié)合已知條件推導(dǎo)出為定值.
(ii)要求的面積的取值范圍,只需求弦長的范圍,由此利用橢圓弦長公式能求出面積的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)因為若拋物線的焦點為與橢圓的一個焦點重合,所以
又因為橢圓短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形,所以
故橢圓的方程為,
“相關(guān)圓”的方程為
(Ⅱ)(i)當(dāng)直線的斜率不存在時,不妨設(shè)直線AB方程為,
則所以
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程設(shè)為,設(shè)
聯(lián)立方程組得,即,
△=,即
因為直線與相關(guān)圓相切,所以
為定值
(ii)由于是“相關(guān)圓”的直徑,所以,所以要求面積的取值范圍,只需求弦長的取值范圍
當(dāng)直線AB的斜率不存在時,由(i)知
因為
,
時為所以,
所以,所以
當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”
②當(dāng)時,.|AB |的取值范圍為
面積的取值范圍是.
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【題目】已知命題p:k2﹣8k﹣20≤0,命題q:方程1表示焦點在x軸上的雙曲線.
(1)命題q為真命題,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若命題“p∨q”為真,命題“p∧q”為假,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】(本小題滿分12分)一個盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字,,,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同。隨機有放回地抽取次,每次抽取張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為,,.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的數(shù)字,,不完全相同”的概率.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓經(jīng)過點,其離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知是橢圓上一點,,為橢圓的焦點,且,求點到軸的距離.
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【題目】已知函數(shù)的定義域為,其中, 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于的方程在上有解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動. 為了了解本次競賽學(xué)生成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為)進(jìn)行統(tǒng)計. 按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60),[90,100]的數(shù)據(jù)).
(1)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;
(2)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機抽取3名同學(xué)到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動,設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)中得分在[80,90)的學(xué)生人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓經(jīng)過拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點.
(1)求圓的方程;
(2)經(jīng)過點的直線與圓相交于,兩點,若圓在,兩點處的切線互相垂直,求直線的方程.
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