Question

【題目】如圖所示，正三棱柱的底面邊長為2， 是側棱的中點.

（1）證明:平面平面；

（2）若平面與平面所成銳角的大小為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）要證平面平面，轉證平面，又，即證平面.（2）建立空間坐標系，由平面與平面所成銳角的大小為，得到，進而得到四棱錐的體積.

試題解析：

解：（1）如圖①，取的中點， 的中點，連接，易知

又，∴四邊形為平行四邊形，∴.

又三棱柱是正三棱柱，

∴為正三角形，∴.

又平面，

,而，

∴平面.

又，

∴平面.

又平面，

所以平面平面

（2）（方法一）建立如圖①所示的空間直角坐標系，

設，則，得

.

設為平面的一個法向量.

由得

即.

顯然平面的一個法向量為，

所以，

即.

所以.

（方法二）如圖②，延長與交于點,連接.

∵, 為的中點，∴也是的中點,

又∵是的中點,∴.

∵平面,∴平面.

∴為平面與平面所成二面角的平面角.

所以,∴.