【題目】一裝有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不計(jì)),上下底面均為邊長為5的正三角形,側(cè)棱為10,側(cè)面AA1B1B水平放置,如圖所示,點(diǎn)D、E、F、G分別在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好過點(diǎn)D,E,F,C,且CD=2
(1)證明:DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置時(shí),求水面的高
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(I)由面面平行的性質(zhì)定理可證;
(Ⅱ)當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí),水的形狀為四棱柱形,由已知條件求出水的體積,由于是三棱柱形容器,故水的體積可以用三角形的面積直接表示出(不必求三角形的面積).
試題解析:(I)證明:因?yàn)橹比庵萜鱾?cè)面水平放置,
所以平面平面,
因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
所以
(II)當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí),可知液體部分是直四棱柱,
其高即為直三棱柱容器的高,即側(cè)棱長10.
由(I)可得,又,
所以.
當(dāng)?shù)酌?/span>水平放置時(shí),設(shè)水面的高為,由于兩種狀態(tài)下水的體積相等,
所以,即,
解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式;
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);
②若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,且,設(shè)命題p:函數(shù)在上單調(diào)遞減;命題q:函數(shù) 在上為增函數(shù),
(1)若“p且q”為真,求實(shí)數(shù)c的取值范圍
(2)若“p且q”為假,“p或q”為真,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD= ,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點(diǎn).
(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;
(2)線段上是否存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為,點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn),且與圓相切于點(diǎn)為線段的中點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),則__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓: 的左焦點(diǎn)是,離心率為,且上任意一點(diǎn)到的最短距離為.
(1)求的方程;
(2)過點(diǎn)的直線(不過原點(diǎn))與交于兩點(diǎn)、, 為線段的中點(diǎn).
(i)證明:直線與的斜率乘積為定值;
(ii)求面積的最大值及此時(shí)的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:對(duì)任意,不等式恒成立;命題q:存在,使得成立.
(1)若p為真命題,求m的取值范圍;
(2)當(dāng),若p且q為假,p或q為真,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上, 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),平面上四個(gè)點(diǎn), , , 中有兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上,另外兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線滿足以下條件:①過的焦點(diǎn);②與交于兩點(diǎn),且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn).若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正三棱柱的底面邊長為2, 是側(cè)棱的中點(diǎn).
(1)證明:平面平面;
(2)若平面與平面所成銳角的大小為,求四棱錐的體積.
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