Question

【題目】函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2圖象上點P(1，f(1))處的切線方程為2x－y－3＝0.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋m－ln 4在上恰有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f′(x)＝＋2bx，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0， )，單調(diào)遞減區(qū)間為(，＋∞)．（2）2<m≤4－2ln 2.

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知切線的斜率為點P處導(dǎo)數(shù)，點P也在切線上，構(gòu)造方程組可得函數(shù)的解析式，再由函數(shù)的解析式進行求導(dǎo)，判斷導(dǎo)數(shù)大于零和小于零的區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）易知函數(shù)，令，分離變量，構(gòu)造新的函數(shù)，對新函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出新函數(shù)的端點值和極值，從而可得實數(shù)m的取值范圍．

試題解析：∵切點在直線2x－y－3=0上，∴f（1）=－１．

,由已知得a=4,b=-1.

∴．

∴單調(diào)增區(qū)間為（0，），減區(qū)間為[，+

（2）f（x）的定義域為. =4lnx-x2+m-ln4.

令g（x）="0," 得4lnx-x2+m-ln4.=0m=x2-4lnx+ln4．

記.則,

當時,,單調(diào)遞減;

當時,,單調(diào)遞增.

,.

由題意,．