Question

7．已知直線x-$\sqrt{3}$y+2=0過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點，且與雙曲線的一條漸近線垂直，則雙曲線的實軸為（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由直線x-$\sqrt{3}$y+2=0過（-2，0），可得c=2，即a²+b²=4，求出漸近線方程，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，解方程可得a=1，進而得到雙曲線的實軸長2a．

解答 解：直線x-$\sqrt{3}$y+2=0過（-2，0），
由題意可得c=2，即a²+b²=4，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
則雙曲線的實軸為2．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運用，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查運算能力，屬于中檔題．