Question

2．已知F₁，F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線與圓x²+y²=a²切于點P，|PF₂|=3|PF₁|，則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 設|PF₁|=t，可得|PF₂|=3|PF₁|=3t，運用直角三角形的勾股定理可得t=b，再在△PF₁F₂中，由余弦定理可得|PF₁|²=a²+c²-2accos∠POF₁，|PF₂|²=a²+c²-2accos∠POF₂，兩式相加，結合誘導公式，以及離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設|PF₁|=t，可得|PF₂|=3|PF₁|=3t，
由OP⊥PF₁，可得|OP|²+|PF₁|²=|OF₁|²，
即a²+t²=c²，
可得t=b，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得
|PF₁|²=a²+c²-2accos∠POF₁，
|PF₂|²=a²+c²-2accos∠POF₂，
兩式相加可得b²+9b²=2a²+2c²-2ac（cos∠POF₁+cos∠POF₂）
=2a²+2c²，
即有a²+c²=5b²=5（c²-a²），
即為6a2=4c2，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓的性質，以及余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．