2.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F1的直線與圓x2+y2=a2切于點P,|PF2|=3|PF1|,則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

分析 設(shè)|PF1|=t,可得|PF2|=3|PF1|=3t,運用直角三角形的勾股定理可得t=b,再在△PF1F2中,由余弦定理可得|PF1|2=a2+c2-2accos∠POF1,|PF2|2=a2+c2-2accos∠POF2,兩式相加,結(jié)合誘導(dǎo)公式,以及離心率公式計算即可得到所求值.

解答 解:設(shè)|PF1|=t,可得|PF2|=3|PF1|=3t,
由OP⊥PF1,可得|OP|2+|PF1|2=|OF1|2,
即a2+t2=c2
可得t=b,
在△PF1F2中,由余弦定理可得
|PF1|2=a2+c2-2accos∠POF1,
|PF2|2=a2+c2-2accos∠POF2,
兩式相加可得b2+9b2=2a2+2c2-2ac(cos∠POF1+cos∠POF2
=2a2+2c2,
即有a2+c2=5b2=5(c2-a2),
即為6a2=4c2,
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運用直線和圓的性質(zhì),以及余弦定理的運用,考查運算能力,屬于中檔題.

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