Question

17．已知銳角△ABC中內(nèi)角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，滿足a²+b²=6abcosC，且${sin^2}C=2\sqrt{3}sinAsinB$．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+cosωx_{\;}^{\;}（ω＞0）$，圖象上相鄰兩最高點間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a²+b²=6abcosC，結(jié)合余弦定理可求$cosC=\frac{c^2}{4ab}$，又sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，根據(jù)由正弦定理得：c²=2$\sqrt{3}$ab，從而可求cosC，即可解得C的值．
（Ⅱ）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+cosωx=\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）$，由題意，利用周期公式即可求ω，可得$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$，由$C=\frac{π}{6}$，$B=\frac{5π}{6}-A$，A，B為銳角，可得范圍$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$，求得范圍$π＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）因為a²+b²=6abcosC，由余弦定理知a²+b²=c²+2abcosC，
所以$cosC=\frac{c^2}{4ab}$…（2分）
又因為sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，則由正弦定理得：c²=2$\sqrt{3}$ab，…（4分）
所以cosC=$\frac{{c}^{2}}{4ab}$=$\frac{2\sqrt{3}ab}{4ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以C=$\frac{π}{6}$．…（6分）
（Ⅱ）因為$f（x）=sin（ωx+\frac{π}{6}）+cosωx=\sqrt{3}sin（ωx+\frac{π}{3}）$，
由已知$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2，
則$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$，…（9分）
因為$C=\frac{π}{6}$，$B=\frac{5π}{6}-A$，
由于0$＜A＜\frac{π}{2}$，0$＜B＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$．
所以$π＜2A+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
所以$-\frac{3}{2}＜f（A）＜0$．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．