Question

7．已知圓O：x²+y²=1的切線l與橢圓C：x²+3y²=4相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）求證：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得橢圓的a，b，c，由離心率公式可得所求值；
（Ⅱ）討論切線的斜率不存在和存在，設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運用韋達定理和向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理，即可得證；
（Ⅲ）因為直線AB與圓O相切，則圓O半徑即為△OAB的高．討論當l的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知|AB|=2．則S_△OAB=1．當l的斜率存在時，運用弦長公式和點到直線的距離公式，運用基本不等式可得面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知a²=4，${b^2}=\frac{4}{3}$，即有${c^2}={a^2}-{b^2}=\frac{8}{3}$．
則$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．故橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；
（Ⅱ）證明：若切線l的斜率不存在，則l：x=±1．
在$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$中，令x=1得y=±1．
不妨設A（1，1），B（1，-1），則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=1-1=0$．可得OA⊥OB；
同理，當l：x=-1時，也有OA⊥OB．
若切線l的斜率存在，設l：y=kx+m，依題意$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，即k²+1=m²．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+3{y^2}=4}\end{array}}\right.$，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-4=0．顯然△＞0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-4}}{{3{k^2}+1}}$．
所以${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$．
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}$=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=$（{k^2}+1）\frac{{3{m^2}-4}}{{3{k^2}+1}}-km\frac{6km}{{3{k^2}+1}}+{m^2}$
=$\frac{{（{k^2}+1）（3{m^2}-4）-6{k^2}{m^2}+（3{k^2}+1）{m^2}}}{{3{k^2}+1}}$
=$\frac{{4{m^2}-4{k^2}-4}}{{3{k^2}+1}}$=$\frac{{4（{k^2}+1）-4{k^2}-4}}{{3{k^2}+1}}=0$．
所以OA⊥OB．
綜上所述，總有OA⊥OB成立．  
（Ⅲ）因為直線AB與圓O相切，則圓O半徑即為△OAB的高．
當l的斜率不存在時，由（Ⅱ）可知|AB|=2．則S_△OAB=1．
當l的斜率存在時，由（Ⅱ）可知，$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$
=$\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（\frac{6km}{{3{k^2}+1}}）}^2}-4•\frac{{3{m^2}-4}}{{3{k^2}+1}}}$=$\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{9{k^2}{m^2}-（3{m^2}-4）（3{k^2}+1）}$
=$\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{12{k^2}-3{m^2}+4}=\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{12{k^2}-3（{k^2}+1）+4}$
=$\frac{{2\sqrt{1+{k^2}}}}{{3{k^2}+1}}•\sqrt{9{k^2}+1}$．
所以${|{AB}|^2}=\frac{{4（1+{k^2}）（9{k^2}+1）}}{{{{（3{k^2}+1）}^2}}}=\frac{{4（9{k^4}+10{k^2}+1）}}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}=4（1+\frac{{4{k^2}}}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}）$
=$4+16•\frac{k^2}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}=4+\frac{16}{{9{k^2}+\frac{1}{k^2}+6}}≤4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$，
（當且僅當$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，等號成立）．
所以${|{AB}|_{max}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．此時，${（{S_{△OAB}}）_{max}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
綜上所述，當且僅當$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$時，△OAB面積的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，主要考查橢圓的離心率的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，以及向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查化簡整理的運算能力，屬于難題．