Question

2．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）將C的方程化為普通方程；
（2）若點(diǎn)P（x，y）是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求3x+4y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)參數(shù)得平方和等于1消去參數(shù)得到普通方程；
（2）把參數(shù)方程代入3x+4y得到關(guān)于θ的三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{4}}\\{sinθ=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）∵3x+4y=12cosθ+12sinθ=12$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{4}$）=1時(shí)，3x+4y取得最大值12$\sqrt{2}$，
當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{4}$）=-1時(shí)，3x+4y取得最小值-12$\sqrt{2}$．
∴3x+4y的取值范圍是[-12$\sqrt{2}$，12$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．