Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[0，

π

3

]上的最值和單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）f（x）的圖象可以由y=sin2x圖象經(jīng)過怎樣變換所得．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）由三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

3

]上的值域．

解答： 解：f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）
=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
（1）則函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）若x∈[0，

π

3

]，則2x+

π

3

∈[

π

3

，π]，
則當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

時，函數(shù)f（x）取得最大值f（x）=2，
當(dāng)2x+

π

3

=π，函數(shù)f（x）取得最小值f（x）=2×sinπ=0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

3

]上的值域[0，2]．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得-

5π

12

+kπ≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-

5π

12

+kπ，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（3）f（x）的圖象可以由y=sin2x圖象經(jīng)過向左平移

π

6

，然后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍得到．

點評：本題主要考查三角函數(shù)函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間和值域的求解，關(guān)鍵在正確化簡三角函數(shù)解析式為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答；要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．