Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足2asinA=bsinB+csinC
（1）求

tanA

tanB

+

tanA

tanC

的值；
（2）求∠A的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,正弦定理,余弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）直接利用正弦定理以及余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)即可求出所求結(jié)果．
（2）利用余弦定理以及（1）的結(jié)果，通過(guò)基本不等式結(jié)合三角形內(nèi)角，即可求出A的最大值．

解答： 解：（1）在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足2asinA=bsinB+csinC
由正弦定理以及余弦定理可得：2a²=b²+c²．即a²=b²+c²-a²=2bccosA，
∴

a2

bccosA

=2，即

sinAsinA

sinBsinCcosA

=2，

tanAsin(B+C)

sinBsinC

=2，

tanA(sinBcosC+sinCcosB)

sinBsinC

=2
可得

tanA

tanB

+

tanA

tanC

=2．
（2）由（1），2a²=b²+c²．
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2

4bc

≥

2bc

4bc

=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，因?yàn)锳是三角形內(nèi)角，所以A∈（0°，60°]．
∠A的最大為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，也考查了基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．