Question

【題目】如圖，己知拋物線，直線交拋物線于兩點，是拋物線外一點，連接分別交地物線于點，且.

（1）若，求點的軌跡方程.

（2）若，且平行x軸，求面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系可用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，利用在拋物線可得的坐標(biāo)滿足的方程，同理利用D在拋物線也可得的坐標(biāo)滿足的方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理可得的橫坐標(biāo)為2.也可以利用在拋物線上及得到，利用、的中點、的中點共線得到的橫坐標(biāo)為2.

（2）根據(jù)（1）的相關(guān)結(jié)果可用表示的坐標(biāo)、的坐標(biāo)及中點的坐標(biāo)，根據(jù)在拋物線上可得的值并求出的坐標(biāo)，最后利用公式可求面積.

（1）解法1：，設(shè)，

則，由可得

，故，同理，

故，代入拋物線得：，

化簡得：，

同理得：，

所以為方程的兩根，

又由，

將代入且①，

將代入①，得，故.

故點P的軌跡方程為.

解法2：同解法1知

，

設(shè)線段的中點分別為，易知三點共線，

（為實數(shù)），所以.

以下同解法1.

（2）由為方程的兩根，

可得：.

由（1）得，因為，所以，故.

軸且在拋物線上，∴關(guān)于軸對稱.

，及，

且.

∵在拋物線上,，解得.

設(shè)的中點為，則，

所以，

而.